Archive for December 2012
Manfaatnya dapat menentukan banyaknya ruang sampel pada suatu kejadian tertentu. Kemudian untuk memodelkan masalah-masalah nyata yang dihadapi memerlukan pengetahuan ini, terutama untuk memodelkan masalah tersebut secara matematis untuk kemudian di tentukan penyelesaiannya. Di dalam aplikasi nya kita bisa membuat aplikasi atau menganalisis suatu peluang/kesempatan dengan memanfaatkan rumus permutasi atau kombinasi. Pada abad informasi sekarang dan masa mendatang peranan ini akan semakin dirasakan terutama dalam menganalisis dan menginterpretasikan data dari pengamatan untuk diolah menjadi informasi yang berguna bagi pengambilan keputusan.
Manfaat Lainnya Permutasi dan Kombinasi dalam ilmu komputer yaitu :
1. Permutasi dan kombinasi dapat mencari persamaan logika yang rasional yang dapat di terjemahkan ke dalam komputer melalui bahasa pemrograman.
2. Komputer dapat melakukan perhitungan logika rasional sistematis secara cepat dan tepat.
Keterbatasan komputer dapat diatasi dengan logika matematis, sedangkan persoalan matematis dapat di komputerisasikan layaknya menghitung banyaknya pasir dalam timbangan. Permutasi dan kombinasi merupakan cabang dari Matematika diskrit yang merupakan dasar untuk bidang ilmu komputer atau informatika.
Algoritma Rijndael :
Algoritma Rijndael menggunakan substitusi, permutasi, dan sejumlah putaran yang dikenakan pada tiap blok yang akan dienkripsi/dekripsi. Untuk setiap putarannya, Rijndael menggunakan kunci yang berbeda. Kunci setiap putaran disebut round key. Tetapi tidak seperti DES yang berorientasi bit,Rijndael beroperasi dalam orientasi byte sehingga memungkinkan untuk implementasi algoritma yang efisien ke dalam software dan hardware. Ukuran blok untuk algoritma Rijndael adalah 128 bit (16 byte).
Algoritma Serpent terdiri dari beberapa tahapan. Initial permutation IP. Putaran transformasi sebanyak 32 putaran yang pada tiap putarannya dilakukan operasi key mixing, subtitusi dengan S-box pada tiap putaran kecuali putaran terakhir dan transformasi linear dimana transformasi ini akan digantikan dengan operasi key mixing pada putaran terakhir. Dan terakhir adalah permutasi kembali IP-1. Cipherteks membutuhkan 132 kunci dengan panjang 32 bit yang diperoleh dari 256 bit kunci dari pengguna sehingga menghasilkan prekey sejumlah 132.
Kunjungi Link Blog :
http://kkpi.blogspot.com/
http://dikdik-dick.blogspot.com/
http://diaarthedoctor.blogspot.com/
http://rinaldi27number.blogspot.com/
http://hiramaru-kingdom.blogspot.com/
http://galeriku-mygaleri.blogspot.com/
Permutasi
Permutasi adalah penyusunan beberapa objek dengan memperhatikan urutannya. Yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah objek-objek yang ada harus dibedakan satu dengan yang lainnya. Permutasi dapat dirumuskan sebagai berikut :
n = n! /( n – r )!
Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada pengulangan. Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya.
Permutasi Dengan Pengulangan
Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n buah objek yang tidak harus berbeda.
Permutasi Siklik
Permutasi siklik berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar.
Contoh soal-soal Permutasi dan Kombinasi :
1. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawab:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
2. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawab:
nPx = (n!)/(n-r)!
4P2 = (4!)/(4-2)!
= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .
3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
Jawaban:
P5 = (5-1)!
= 4.3.2.1
= 24 cara
4. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?
Jawab :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata
5. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawab :
Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 !
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cara.
6. Berapa banyak susunan huruf-huruf yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “ SSST “?
Jawab :
→ P = 4!3! = 4.3.2.1 3.2.1 = 4 macam susunan ( SSST,SSTS, STSS,TSSS )
7. Dengan berapa cara 9 kue yg berbeda dapat diisusun melingkar diatas sebuah meja ?
Jawab ; P = (9-1)! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320
8. Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
Jawab :
3P3 = 3!
= 3 × 2 × 1
= 6
9. Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu desa akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa sang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawab :
6P2 = 6!/(6-2)!
= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
= 720/24
= 30 cara
10. Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?
Jawaban:
P7 = 7! / 1!.3!.1!.1!.1!
= 840 cara
Kombinasi
Kombinasi adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.
Kombinasi dapat dirumuskan sebagai berikut :
n = n! /r ! ( n – r )!
Contoh soal :
1. Untuk pemilihan 4 mahasiswa menjadi pengurus himpunan mahasiswa jurusan matematika FMIPA UNM terdapat 8 mahasiswa prodi pendidikan matematika dan 6 mahasiswa prodi matematika yang memenuhi syarat untuk dipilih. Berapa banyak cara memilih pengurus bila semua anggota pengurus dari prodi yang sama ?
Jawab :
Dari prodi pendidikan matematika 8 orang, harus dipilih 4 orang. Berarti kita hitung dengan menggunakan C (8,4) = 70 cara
Sedangkan dari prodi matematika, kita dapat memilih dengan C (6,4) = 6!/2!4! = 36x5x4!/2×4! = 15 cara.
Sehingga jika yang terpilih adalah mahasiswa dari prodi yang sama, kemungkinan banyak cara memilih adalah C (8,4) + C (6,4) = 70 + 15 = 85 cara
2. Seorang mahasiswa pascasarjana mempunyai teman belajar 11 orang.Dengan berapa carakah jika 2 dari temannya adalah suami istri dan harus hadir bersama-sama.
Jika A dan B tidak hadir, maka 5 orang teman lainnya dapat diundang dengan cara (9,5).
Jadi banyak cara memilih di bagian ini adalah C (9,3) + C (9,5) = 9!/3!6! + 9!/5!4! = 84 + 126 = 210 cara.
3. Sebuah panitia terdiri atas Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyak susunan panitia yang dapat dibentuk dari 9 orang?
Dalam hal ini n = 9 dan k = 4, karena setiap posisi yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara akan dijabat oleh 1 orang maka banyak cara memilih 4 orang dari 9 orang adalah :
C (9,4) = 9! / 4! (9-4)! = 9! / 4!5! = 126 cara.
4. Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?
Jawaban:
Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara
Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara
5. 4 Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!
Jawab :
Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi :
9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360
6. Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawab :
nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
= 24/6 = 4 (MKB, MKH, KBH, MBH).
7. Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
Jawab :
6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara
8. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawab :
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45
9. Dalam sebuah ruangan terdapat 9 orang. Jika mereka saling bersalaman maka berapa banyak salaman yang akan terjadi?
Jawaban:
9C2 = 9!/2!(9-2)! = (9×8×7!)/2!7! = 36
10. Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.
Jawaban:
5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 cara
2. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawab:
nPx = (n!)/(n-r)!
4P2 = (4!)/(4-2)!
= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .
3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
Jawaban:
P5 = (5-1)!
= 4.3.2.1
= 24 cara
4. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?
Jawab :
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata
5. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawab :
Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 !
= 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 cara.
6. Berapa banyak susunan huruf-huruf yang berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata “ SSST “?
Jawab :
→ P = 4!3! = 4.3.2.1 3.2.1 = 4 macam susunan ( SSST,SSTS, STSS,TSSS )
7. Dengan berapa cara 9 kue yg berbeda dapat diisusun melingkar diatas sebuah meja ?
Jawab ; P = (9-1)! = 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320
8. Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
Jawab :
3P3 = 3!
= 3 × 2 × 1
= 6
9. Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu desa akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa sang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawab :
6P2 = 6!/(6-2)!
= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
= 720/24
= 30 cara
10. Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?
Jawaban:
P7 = 7! / 1!.3!.1!.1!.1!
= 840 cara
Kombinasi
Kombinasi adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.
Kombinasi dapat dirumuskan sebagai berikut :
n = n! /r ! ( n – r )!
Contoh soal :
1. Untuk pemilihan 4 mahasiswa menjadi pengurus himpunan mahasiswa jurusan matematika FMIPA UNM terdapat 8 mahasiswa prodi pendidikan matematika dan 6 mahasiswa prodi matematika yang memenuhi syarat untuk dipilih. Berapa banyak cara memilih pengurus bila semua anggota pengurus dari prodi yang sama ?
Jawab :
Dari prodi pendidikan matematika 8 orang, harus dipilih 4 orang. Berarti kita hitung dengan menggunakan C (8,4) = 70 cara
Sedangkan dari prodi matematika, kita dapat memilih dengan C (6,4) = 6!/2!4! = 36x5x4!/2×4! = 15 cara.
Sehingga jika yang terpilih adalah mahasiswa dari prodi yang sama, kemungkinan banyak cara memilih adalah C (8,4) + C (6,4) = 70 + 15 = 85 cara
2. Seorang mahasiswa pascasarjana mempunyai teman belajar 11 orang.Dengan berapa carakah jika 2 dari temannya adalah suami istri dan harus hadir bersama-sama.
Jika A dan B tidak hadir, maka 5 orang teman lainnya dapat diundang dengan cara (9,5).
Jadi banyak cara memilih di bagian ini adalah C (9,3) + C (9,5) = 9!/3!6! + 9!/5!4! = 84 + 126 = 210 cara.
3. Sebuah panitia terdiri atas Ketua, Wakil Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Berapa banyak susunan panitia yang dapat dibentuk dari 9 orang?
Dalam hal ini n = 9 dan k = 4, karena setiap posisi yaitu ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara akan dijabat oleh 1 orang maka banyak cara memilih 4 orang dari 9 orang adalah :
C (9,4) = 9! / 4! (9-4)! = 9! / 4!5! = 126 cara.
4. Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?
Jawaban:
Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara
Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara
5. 4 Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!
Jawab :
Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi :
9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360
6. Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawab :
nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
= 24/6 = 4 (MKB, MKH, KBH, MBH).
7. Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
Jawab :
6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara
8. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawab :
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45
9. Dalam sebuah ruangan terdapat 9 orang. Jika mereka saling bersalaman maka berapa banyak salaman yang akan terjadi?
Jawaban:
9C2 = 9!/2!(9-2)! = (9×8×7!)/2!7! = 36
10. Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.
Jawaban:
5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5
Link blog teman :
